微积分学示例

$\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2} d x$

解题步骤 4

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 4.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{1}{(x - 2) (x - 1)}$

解题步骤 4.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 2}$

解题步骤 4.1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$

解题步骤 4.1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x - 2) (x - 1)$ 。

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.1

约去公因数。

$\frac{1 (x - 2) (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5.2

重写表达式。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.1

约去公因数。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.6.2

重写表达式。

$1 = \frac{(A) (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.1.7.1

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.7.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x - 2) (x - 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.7.1.2

用 $(A) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.7.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.7.3

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.7.4

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.7.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.7.5.1

约去公因数。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x - 2) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 4.1.7.5.2

用 $(B) (x - 2)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x - A + (B) (x - 2)$

解题步骤 4.1.7.6

运用分配律。

$1 = A x - A + B x + B \cdot - 2$

解题步骤 4.1.7.7

将 $- 2$ 移到 $B$ 的左侧。

$1 = A x - A + B x - 2 B$

解题步骤 4.1.8

移动 $- A$ 。

$1 = A x + B x - A - 2 B$

解题步骤 4.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 4.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 1 A - 2 B$

解题步骤 4.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A - 2 B$

解题步骤 4.3

求解方程组。

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解题步骤 4.3.1

在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$1 = - 1 A - 2 B$

解题步骤 4.3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

$A = - B$

$1 = - 1 A - 2 B$

解题步骤 4.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $- B$ 替换 $1 = - 1 A - 2 B$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = - 1 (- B) - 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 $- 1 (- B) - 2 B$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

乘以 $- 1 (- B)$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 = 1 B - 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.2.2.1.1.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

$1 = B - 2 B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

从 $B$ 中减去 $2 B$ 。

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

解题步骤 4.3.3

在 $1 = - B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将方程重写为 $- B = 1$ 。

$- B = 1$

$A = - B$

解题步骤 4.3.3.2

将 $- B = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $- B = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.3.2.2.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

解题步骤 4.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

解题步骤 4.3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- 1$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

使用 $- 1$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

解题步骤 4.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

解题步骤 4.3.5

列出所有解。

$A = 1, B = - 1$

解题步骤 4.4

将 $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{1}{x - 2} + \frac{- 1}{x - 1}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{x - 2} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 6

使 $u_{1} = x - 2$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u_{1} = x - 2$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 6.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 9

使 $u_{2} = x - 1$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u_{2} = x - 1$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 9.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 9.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 9.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 10

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

解题步骤 11

化简。

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 12

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

解题步骤 13

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 13.1

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| u_{2} |}) + C$

解题步骤 13.2

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (\frac{| x - 2 |}{| x - 1 |}) + C$

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