微积分学示例

$\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

解题步骤 5

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{3}{x^{3}} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C - \int \frac{3}{x^{3}} d x$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C - (3 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| x |) + C - 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 8.2

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| x |) + C - 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 8.3

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 8.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| x |) + C - 3 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 10.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\ln (| x |) + C - 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{3}{2 x^{2}} + C$

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