微积分学示例

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x - 1}{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 5

乘以 $(x - 1) x^{- 2}$ 。

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.1.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.2

将 $- 1 x^{- 2}$ 重写为 $- x^{- 2}$ 。

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

解题步骤 8

$x^{- 1}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

解题步骤 11.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$