微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - x^{- 2}}{x - x^{- 1}}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简极限自变量。

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解题步骤 1.1.1

将负指数转换成分数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - x^{- 1}}$

解题步骤 1.1.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.1.2

合并项。

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解题步骤 1.1.2.1

要将 $x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.1.2.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{x - \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.1.2.3

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.1.2.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}}}{\frac{x \cdot x - 1}{x}}$

解题步骤 1.2

化简极限自变量。

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解题步骤 1.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} x^{2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

解题步骤 1.2.2

合并因数。

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解题步骤 1.2.2.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2 + 2} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

解题步骤 1.2.2.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x \cdot x - 1}$

解题步骤 1.2.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x - 1}$

解题步骤 1.2.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} - 1}$

解题步骤 1.2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} - 1}$

解题步骤 1.2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2.2.6

将 $\frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x^{2} - 1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{(x^{4} - 1) x}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

解题步骤 1.2.3

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $(x^{4} - 1) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x^{2} (x^{2} - 1)}$

解题步骤 1.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1

从 $x^{2} (x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{x (x^{4} - 1)}{x (x (x^{2} - 1))}$

解题步骤 1.2.3.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

解题步骤 2.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1)}$

解题步骤 2.1.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 \cdot (1^{2} - 1 \cdot 1)}$

解题步骤 2.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $1^{2} - 1 \cdot 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3.6.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.6.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3.6.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 2.1.3.6.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.6.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} - 1}{x (x^{2} - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{4} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.5

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 1)]}$

解题步骤 2.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.7

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.10

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{x (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

解题步骤 2.3.16

将 $x^{2} - 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{2 x^{2} + x^{2} - 1}$

解题步骤 2.3.17

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to 1} \frac{x^{3}}{3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$4 \frac{lim_{x \to 1} x^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 1}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$4 \frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{1^{3}}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \frac{1^{3}}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1}{3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{1}{3 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{1}{3 - 1}$

解题步骤 5.2.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$2$

微积分学 示例

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