微积分学示例

$y = \frac{4 x^{2} - 16}{x - 2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{4 x^{2} - 16}{x - 2})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 x^{2} - 16$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2}) - 16}{x - 2}]$

解题步骤 3.1.1.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 4}{x - 2}]$

解题步骤 3.1.1.3

从 $4 x^{2} + 4 \cdot - 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 4)}{x - 2}]$

解题步骤 3.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x^{2} - 2^{2})}{x - 2}]$

解题步骤 3.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{d}{d y} [\frac{4 (x + 2) (x - 2)}{x - 2}]$

解题步骤 3.2.1.2

用 $4 (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d y} [4 (x + 2)]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d y} [4 x + 4 \cdot 2]$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d y} [4 x + 8]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $4 x + 8$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$ 。

$\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [8]$

解题步骤 3.4

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [8]$

解题步骤 3.5

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$4 x' + \frac{d}{d y} [8]$

解题步骤 3.6

因为 $8$ 对于 $y$ 是常数，所以 $8$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$4 x' + 0$

解题步骤 3.7

将 $4 x'$ 和 $0$ 相加。

$4 x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = 4 x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $4 x' = 1$ 。

$4 x' = 1$

解题步骤 5.2

将 $4 x' = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $4 x' = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x'}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{1}{4}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4}$

微积分学 示例

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