微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} 6 x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\cos (6 lim_{x \to 0} x) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\cos (6 \cdot 0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.7.1.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\cos (0) - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.1.3

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.2.7.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (6 x) - \cos (7 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x) - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $\cos (6 x) - \cos (7 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.1.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.3.5

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (7 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4.2.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) (7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- \sin (7 x) \cdot 7)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4.6

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) - (- 7 \sin (7 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.4.7

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{2 x}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 6 \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.2

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 lim_{x \to 0} \sin (6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.4

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 7 \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.5

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.7

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 lim_{x \to 0} x) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (6 \cdot 0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.9.1.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \sin (0) + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 6 \cdot 0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.3

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.4

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 7 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.1.6

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.2.9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $- 6 \sin (6 x) + 7 \sin (7 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (6 x)]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 \sin (6 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $6 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.2.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.6

将 $6$ 移到 $\cos (6 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 6 \cdot 6 \cdot \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.3.7

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [7 \sin (7 x)]$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 \sin (7 x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 7 x$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $7 x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.2.3

使用 $7 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.6

将 $7$ 移到 $\cos (7 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 7 \cdot 7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.4.7

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)}{1}$

解题步骤 5.4

用 $- 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - 36 \cos (6 x) + 49 \cos (7 x)$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (- lim_{x \to 0} 36 \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

解题步骤 6.2

因为项 $36$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (- 36 lim_{x \to 0} \cos (6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

解题步骤 6.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (lim_{x \to 0} 6 x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

解题步骤 6.4

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 49 \cos (7 x))$

解题步骤 6.5

因为项 $49$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 lim_{x \to 0} \cos (7 x))$

解题步骤 6.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (lim_{x \to 0} 7 x))$

解题步骤 6.7

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 lim_{x \to 0} x) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (6 \cdot 0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (- 36 \cos (0) + 49 \cos (7 \cdot 0))$

解题步骤 8.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 36 \cdot 1 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

解题步骤 8.1.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (7 \cdot 0))$

解题步骤 8.1.4

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cos (0))$

解题步骤 8.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 36 + 49 \cdot 1)$

解题步骤 8.1.6

将 $49$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- 36 + 49)$

解题步骤 8.2

将 $- 36$ 和 $49$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 13$

解题步骤 8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $13$ 。

$\frac{13}{2}$

微积分学 示例

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