微积分学示例

$y = \sqrt[4]{8 x^{2}}$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{8 x^{2}}$ 重写成 ${(8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2})}^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 1.2

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{d}{d x} [{(8 (x^{2}))}^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 1.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.3.1

对 $8 (x^{2})$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} {(x^{2})}^{\frac{1}{4}}]$

解题步骤 1.3.2

将 ${(x^{2})}^{\frac{1}{4}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 (\frac{1}{4})}]$

解题步骤 1.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 \frac{1}{2 (2)}}]$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{2 \frac{1}{2 \cdot 2}}]$

解题步骤 1.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [8^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

因为 $8^{\frac{1}{4}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $8^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$8^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$8^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8^{\frac{1}{4}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 10

组合 $8^{\frac{1}{4}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{8^{\frac{1}{4}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{8^{\frac{1}{4}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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