微积分学示例

$x^{2} y - \frac{x}{y} = - 2$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} y - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} y - \frac{x}{y}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x}{y}$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.6

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

解题步骤 2.3.7

将 $\frac{x}{y}$ 乘以 $0$ 。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

解题步骤 2.3.8

将 $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} y' + 2 y x - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

合并项。

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解题步骤 2.4.1.1

要将 $x^{2} y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.1.2

在公分母上合并分子。

$2 y x + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

解题步骤 2.4.2

重新排序项。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$

解题步骤 3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - (y - x y')}{y^{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1.1

运用分配律。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y - (- x y')}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.1.1.2

乘以 $- (- x y')$ 。

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解题步骤 5.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + 1 (x y')}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.1.1.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 x y + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.1.2

要将 $2 x y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ 。

$\frac{2 x y \cdot y^{2}}{y^{2}} + \frac{x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x y \cdot y^{2} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.1.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

移动 $y^{2}$ 。

$\frac{2 x (y^{2} y) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.1.4.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.1.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x (y^{2} y^{1}) + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x y^{2 + 1} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.1.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y'}{y^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$2 x y^{3} + x^{2} y' y^{2} - y + x y' = 0$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1.1

从等式两边同时减去 $2 x y^{3}$ 。

$x^{2} y' y^{2} - y + x y' = - 2 x y^{3}$

解题步骤 5.3.1.2

在等式两边都加上 $y$ 。

$x^{2} y' y^{2} + x y' = - 2 x y^{3} + y$

解题步骤 5.3.2

从 $x^{2} y' y^{2} + x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从 $x^{2} y' y^{2}$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (x y^{2}) + x y' = - 2 x y^{3} + y$

解题步骤 5.3.2.2

从 $x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1 = - 2 x y^{3} + y$

解题步骤 5.3.2.3

从 $x y' (x y^{2}) + x y' \cdot 1$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$

解题步骤 5.3.3

将 $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ 中的每一项除以 $x (x y^{2} + 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $x y' (x y^{2} + 1) = - 2 x y^{3} + y$ 中的每一项都除以 $x (x y^{2} + 1)$ 。

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (x y^{2} + 1)}{x (x y^{2} + 1)} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去 $x y^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x y^{2} + 1)}{x y^{2} + 1} = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.3.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1.1.1

约去公因数。

$y' = \frac{- 2 x y^{3}}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.1.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.2

要将 $- \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x y^{2} + 1) x$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.3.1

将 $\frac{2 y^{3}}{x y^{2} + 1}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{(x y^{2} + 1) x} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.3.2

重新排序 $(x y^{2} + 1) x$ 的因式。

$y' = - \frac{2 y^{3} x}{x (x y^{2} + 1)} + \frac{y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 2 y^{3} x + y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.5

从 $- 2 y^{3} x + y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.5.1

从 $- 2 y^{3} x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.5.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y^{1}}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.5.3

从 $y^{1}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.5.4

从 $y (- 2 y^{2} x) + y \cdot 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 2 y^{2} x + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.6

从 $- 2 y^{2} x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) + 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.7

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x) - 1 (- 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.8

从 $- (2 y^{2} x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.9

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.3.9.1

将 $- (2 y^{2} x - 1)$ 重写为 $- 1 (2 y^{2} x - 1)$ 。

$y' = \frac{y (- 1 (2 y^{2} x - 1))}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 5.3.3.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y^{2} x - 1)}{x (x y^{2} + 1)}$

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