微积分学示例

$2 x^{2} + y^{2} - x y = 4$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{2} + y^{2} - x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x y]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$4 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 2.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$4 x + 2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x + 2 y y' - (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 2.4.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 2 y y' - (x y' + y)$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$4 x + 2 y y' - (x y') - y$

解题步骤 2.5.2

去掉多余的括号。

$4 x + 2 y y' - x y' - y$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$2 y y' - x y' + 4 x - y$

解题步骤 3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' - x y' + 4 x - y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$2 y y' - x y' - y = - 4 x$

解题步骤 5.1.2

在等式两边都加上 $y$ 。

$2 y y' - x y' = - 4 x + y$

解题步骤 5.2

从 $2 y y' - x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y) - x y' = - 4 x + y$

解题步骤 5.2.2

从 $- x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y) + y' (- x) = - 4 x + y$

解题步骤 5.2.3

从 $y' (2 y) + y' (- x)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y - x) = - 4 x + y$

解题步骤 5.3

将 $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ 中的每一项除以 $2 y - x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (2 y - x) = - 4 x + y$ 中的每一项都除以 $2 y - x$ 。

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2 y - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4 x}{2 y - x} + \frac{y}{2 y - x}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 4 x + y}{2 y - x}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (4 x) + y}{2 y - x}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (4 x) - 1 (- y)}{2 y - x}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $- (4 x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (4 x - y)}{2 y - x}$

解题步骤 5.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.5.1

将 $- (4 x - y)$ 重写为 $- 1 (4 x - y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (4 x - y)}{2 y - x}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x - y}{2 y - x}$

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