微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 1)}^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.4

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.4.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.2.4.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + lim_{x \to - 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{{(- 1)}^{3} + 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + x}{x^{3} + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 0}$

解题步骤 1.3.8

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{3 x^{2}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 1}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2}}$

解题步骤 2.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 lim_{x \to - 1} x + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

解题步骤 3

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot - 1 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 2 + 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{1}$

解题步骤 4.3

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot - 1$

解题步骤 4.4

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{3}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{3}$

小数形式：

$- 0.\overline{3}$

微积分学 示例

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