微积分学示例

${(x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

解题步骤 4

展开 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) d x$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.5

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int x^{2} x^{2} + 1 \cdot x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 + 2} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.7

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{4} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.8

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.9

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

解题步骤 4.10

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 d x$

解题步骤 4.11

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\int x^{4} + 2 x^{2} + 1 d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C$

解题步骤 10.3

重新排序项。

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$

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