微积分学示例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.2.1.3

计算 $25$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.3.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.3.1.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.3.3

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0}{5 - 5} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.3.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.3.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.3.6

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.3.8

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1 + 0} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{1} + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 2.4

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 5} 2 x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} \sqrt{x^{2} + 7}$

解题步骤 3.2

将极限移入根号内。

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + 7}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{lim_{x \to 5} x^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

解题步骤 3.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + lim_{x \to 5} 7}$

解题步骤 3.5

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$2 lim_{x \to 5} x + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

解题步骤 4

将 $5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 5 + \sqrt{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} + 7}$

解题步骤 4.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 5 + \sqrt{5^{2} + 7}$

解题步骤 5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 + \sqrt{5^{2} + 7}$

解题步骤 5.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$10 + \sqrt{25 + 7}$

解题步骤 5.3

将 $25$ 和 $7$ 相加。

$10 + \sqrt{32}$

解题步骤 5.4

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$10 + \sqrt{16 (2)}$

解题步骤 5.4.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$10 + \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.5

从根式下提出各项。

$10 + 4 \sqrt{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$10 + 4 \sqrt{2}$

小数形式：

$15.65685424 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例