微积分学示例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 5 x}{\sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 5 x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 5 x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5^{2} - 5 lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5^{2} - 5 \cdot 5}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{25 - 5 \cdot 5}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - 3}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} - lim_{x \to 5} 3}$

解题步骤 1.1.3.1.2

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 4} - lim_{x \to 5} 3}$

解题步骤 1.1.3.1.3

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 4} - lim_{x \to 5} 3}$

解题步骤 1.1.3.1.4

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 4} - lim_{x \to 5} 3}$

解题步骤 1.1.3.1.5

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 5} x + 4} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{5 + 4} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{0}{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{3 - 3}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 5 x}{\sqrt{x + 4} - 3} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4} - 3]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $\sqrt{x + 4} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 4}]$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 4}$ 重写成 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

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解题步骤 1.3.6.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 4$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.2.3

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.3

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.13

将 $\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.6.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

解题步骤 1.3.8

将 $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 5}{\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 5} (2 x - 5) (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.5

将 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x + 4}$ 。

$lim_{x \to 5} (2 x - 5) (2 \sqrt{x + 4})$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 5} (2 x - 5) \sqrt{x + 4}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 lim_{x \to 5} 2 x - 5 \cdot lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 (lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 5) \cdot lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5) \cdot lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$

解题步骤 2.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$2 (2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$

解题步骤 2.6

将极限移入根号内。

$2 (2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{lim_{x \to 5} x + 4}$

解题步骤 2.7

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 (2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 4}$

解题步骤 2.8

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$2 (2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{lim_{x \to 5} x + 4}$

解题步骤 3

将 $5$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (2 \cdot 5 - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{lim_{x \to 5} x + 4}$

解题步骤 3.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (2 \cdot 5 - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{5 + 4}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 (10 - 1 \cdot 5) \cdot \sqrt{5 + 4}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$2 (10 - 5) \cdot \sqrt{5 + 4}$

解题步骤 4.2

从 $10$ 中减去 $5$ 。

$2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5 + 4}$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 \cdot \sqrt{5 + 4}$

解题步骤 4.4

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$10 \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 4.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$10 \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 4.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$10 \cdot 3$

解题步骤 4.7

将 $10$ 乘以 $3$ 。

$30$

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