微积分学示例

$f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 12 x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 4

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int x^{3} d x + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \frac{24}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 6

由于 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $24$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$12 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 7.2.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 7.2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 \int x^{- 4} d x + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 11

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 12.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 12.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 12.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 12.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 12.4.3

将负号移到分数的前面。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$12 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 24 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简。

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

解题步骤 14.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = 12 x^{3} + \frac{24}{x^{4}} - \frac{2}{\sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $3 x^{4} - \frac{8}{x^{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

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