微积分学示例

$y = 3^{x \ln (x)}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 3^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $3$ 。

$3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 4.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) (1 + \ln (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) \cdot 1 + 3^{x \ln (x)} \ln (3) \ln (x)$

解题步骤 5.2

将 $3^{x \ln (x)}$ 乘以 $1$ 。

$3^{x \ln (x)} \ln (3) + 3^{x \ln (x)} \ln (3) \ln (x)$

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