微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

解题步骤 6.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

解题步骤 6.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4 x^{2}} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{4 x^{2}} + C$

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