微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} e^{x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.1.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $e$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{lim_{x \to 1} x} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{1} - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简。

$\frac{e - e}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $e$ 中减去 $e$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} - e}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $e^{x} - e$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- e]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.5

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{e^{x}}{1}$

解题步骤 1.4

用 $e^{x}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} e^{x}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 1} x}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{1}$

解题步骤 4

化简。

$e$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e$

小数形式：

$2.71828182 \dots$

微积分学 示例

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