微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{x (2 x^{2} + 3)}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{x (2 x^{2}) + x \cdot 3}$

解题步骤 1.2

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

解题步骤 1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x \cdot x^{2} + 3 \cdot x}$

解题步骤 1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 (x^{2} x) + 3 \cdot x}$

解题步骤 1.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot x}$

解题步骤 1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{2 + 1} + 3 \cdot x}$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{3} + 3 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} + 5}{2 x^{3} + 3 x}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3 x}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x^{3}}}$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{5}{x^{3}}}{2 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 5.2

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 5.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 + 5 \cdot 0}{2 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 + 0}{2 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 7.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2 + 0}$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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