微积分学示例

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

解题步骤 3

使 $u = 5 x + 1$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 5 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $5 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

解题步骤 4

组合 $5^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

解题步骤 6

$5^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ 。

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

解题步骤 7

由于 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 15$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

解题步骤 9.2

化简。

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $5^{u}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 9.3.2

约去 $5^{u}$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $5^{u}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

从 $5 \ln (5)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 9.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 9.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 9.3.3

组合 $- 15$ 和 $\frac{x^{5}}{5}$ 。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

解题步骤 9.3.4

约去 $- 15$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.1

从 $- 15 x^{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

解题步骤 9.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.4.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

解题步骤 9.3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

解题步骤 9.3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

解题步骤 9.3.4.2.4

用 $- 3 x^{5}$ 除以 $1$ 。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

解题步骤 9.3.5

要将 $- 3 x^{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ 。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

解题步骤 9.3.6

组合 $- 3 x^{5}$ 和 $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ 。

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

解题步骤 9.3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

解题步骤 10

使用 $5 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$

微积分学 示例

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