微积分学示例

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 2.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x)$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 24$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [36 x]$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.1

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36 x$ 对 $x$ 的导数是 $36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.4.3

将 $36$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x + 36$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} - 48 x + 36$ 。

$12 x^{2} - 48 x + 36$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} - 48 x + 36 = 0$

解题步骤 2.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $12 x^{2} - 48 x + 36$ 中分解出因数 $12$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) - 48 x + 36 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.2

从 $- 48 x$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2}) + 12 (- 4 x) + 36 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.3

从 $36$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 x^{2} + 12 (- 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.4

从 $12 x^{2} + 12 (- 4 x)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3 = 0$

解题步骤 2.2.2.1.5

从 $12 (x^{2} - 4 x) + 12 \cdot 3$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$12 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$12 (x - 3) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.2.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.2.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.2.6

最终解为使 $12 (x - 3) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 1$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 36$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 36$

解题步骤 5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 36$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 0 + 36$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 0 + 36$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$f'' (0) = 36$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $36$ 。

$36$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 1)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(1, 3)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2} - 48 \cdot 2 + 36$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = 12 \cdot 4 - 48 \cdot 2 + 36$

解题步骤 6.2.1.2

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = 48 - 48 \cdot 2 + 36$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = 48 - 96 + 36$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $48$ 中减去 $96$ 。

$f'' (2) = - 48 + 36$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 48$ 和 $36$ 相加。

$f'' (2) = - 12$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(1, 3)$ 上向下凹，因为 $f'' (2)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, 3)$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(3, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6) = 12 {(6)}^{2} - 48 \cdot 6 + 36$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6) = 12 \cdot 36 - 48 \cdot 6 + 36$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $36$ 。

$f'' (6) = 432 - 48 \cdot 6 + 36$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 48$ 乘以 $6$ 。

$f'' (6) = 432 - 288 + 36$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $432$ 中减去 $288$ 。

$f'' (6) = 144 + 36$

解题步骤 7.2.2.2

将 $144$ 和 $36$ 相加。

$f'' (6) = 180$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $180$ 。

$180$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(3, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (6)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, 3)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(3, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

微积分学 示例

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