微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 x^{2} - 7}}{x + 2}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{2}} = x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{25 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $25$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 + \frac{- 7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2.2.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2.4

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 25 - \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 25 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2.6

计算 $25$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{25 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 2.7

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{25 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

解题步骤 4.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

解题步骤 4.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{25 - 7 \cdot 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{25 + 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 6.1.2

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\sqrt{25}}{1 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 6.1.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{1 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 6.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5}{1 + 2 \cdot 0}$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{1 + 0}$

解题步骤 6.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{1}$

解题步骤 6.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5$

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