微积分学示例

$\int (x - 1) (x + a) d x$

解题步骤 1

展开 $(x - 1) (x + a)$ 。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int x (x + a) - 1 (x + a) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int x \cdot x + x a - 1 (x + a) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int x \cdot x + x a - 1 x - 1 a d x$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x + x a - 1 x - 1 a d x$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{1} + x a - 1 x - 1 a d x$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + 1} + x a - 1 x - 1 a d x$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{2} + x a - 1 x - 1 a d x$

解题步骤 1.8

将 $- 1 x$ 和 $- 1 a$ 重新排序。

$\int x^{2} + x a - 1 a - 1 x d x$

解题步骤 1.9

移动 $x a$ 。

$\int x^{2} - 1 a + x a - 1 x d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int - 1 a d x + \int x a d x + \int - 1 x d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 a d x + \int x a d x + \int - 1 x d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 1 a x + C + \int x a d x + \int - 1 x d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1 a$ 重写为 $- a$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + \int x a d x + \int - 1 x d x$

解题步骤 5.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + \int x a d x + \int - x d x$

解题步骤 6

由于 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $a$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a \int x d x + \int - x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - x d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int x d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - a x + C + a (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

解题步骤 11.2

化简。

$\frac{x^{3}}{3} - a x + \frac{a x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} - a x + \frac{1}{2} a x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

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