微积分学示例

$f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 3 x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

解题步骤 4

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int x^{- 4} d x + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

解题步骤 6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 10 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

解题步骤 7

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 7 x d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - 7 x d x$

解题步骤 9

由于 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 7$ 移到积分外。

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - 7 \int x d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 10 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - 7 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - 7 \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 7 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 11.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7 x^{2}}{2} + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7}{2} x^{2} + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = - 3 x^{- 4} + 10 x^{\frac{2}{3}} - 7 x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{3}} + 6 x^{\frac{5}{3}} - \frac{7}{2} x^{2} + C$

微积分学 示例

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