微积分学示例

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.3

将 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

解题步骤 1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 6.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 7.2

组合 ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 8

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

解题步骤 11

化简表达式。

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解题步骤 11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

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