微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{x}{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int x d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

解题步骤 6

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int - x^{4} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - x^{4} d x$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int x^{4} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$\frac{x^{2}}{4} - x^{4} - (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

解题步骤 10.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{2}}{4} - x^{4} - \frac{x^{5}}{5} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{1}{4} x^{2} - x^{4} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{x}{2} - 4 x^{3} - x^{4}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - x^{4} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

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