微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

要将 $- 2 x^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3}}{2} - 2 x^{3} \cdot \frac{2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3.2

组合 $- 2 x^{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{- 2 x^{3} \cdot 2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} - 2 x^{3} \cdot 2}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{x^{3} - 4 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3.5

从 $x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$\int - 3 x^{- 2} + \frac{- 3 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$\int - 3 x^{- 2} - \frac{3 x^{3}}{2} - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{3 x^{3}}{2} d x + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$- 3 (- x^{- 1} + C) - (\frac{3}{2} \int x^{3} d x) + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$- 3 (- x^{- 1} + C) - \frac{3}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$\frac{3}{x} - \frac{3 x^{4}}{8} - (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

解题步骤 12.2

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{3}{x} - \frac{3 x^{4}}{8} - \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{3}{x} - \frac{3}{8} x^{4} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 14

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{2} - 3 x^{- 2} - 2 x^{3} - x^{\frac{3}{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{3}{x} - \frac{3}{8} x^{4} - \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

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