微积分学示例

$f (x) = 2 x^{\frac{2}{3}} - 5 x^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 x^{\frac{2}{3}} - 5 x^{3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 5 x^{3} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 5 x^{3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - 5 x^{3} d x$

解题步骤 6

由于 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 5$ 移到积分外。

$2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - 5 \int x^{3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$2 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} - 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} - 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{3}} - 5 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

解题步骤 8.2.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{- 5}{4} x^{4} + C$

解题步骤 8.2.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{5}{4} x^{4} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 2 x^{\frac{2}{3}} - 5 x^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{5}{4} x^{4} + C$

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