微积分学示例

$\frac{d f}{d x} = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 9$

解题步骤 1

重写该方程。

$d f = 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d f = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$f + C_{1} = \int 45 x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $45$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $45$ 移到积分外。

$f + C_{1} = 45 \int x \sqrt{9 x^{2} + 4} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = 9 x^{2} + 4$ 。然后使 $d u = 18 x d x$ ，以便 $\frac{1}{18} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = 9 x^{2} + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $9 x^{2} + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $9 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 x + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 2.3.2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.2.1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$18 x + 0$

解题步骤 2.3.2.1.4.2

将 $18 x$ 和 $0$ 相加。

$18 x$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$f + C_{1} = 45 \int \sqrt{u} \frac{1}{18} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{18}$ 。

$f + C_{1} = 45 \int \frac{\sqrt{u}}{18} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{18}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{18}$ 移到积分外。

$f + C_{1} = 45 (\frac{1}{18} \int \sqrt{u} d u)$

解题步骤 2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

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解题步骤 2.3.5.1.1

组合 $\frac{1}{18}$ 和 $45$ 。

$f + C_{1} = \frac{45}{18} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2

约去 $45$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.1

从 $45$ 中分解出因数 $9$ 。

$f + C_{1} = \frac{9 (5)}{18} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.1.2.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.2

约去公因数。

$f + C_{1} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.3.5.1.2.2.3

重写表达式。

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.3.5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$f + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ 。

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

化简。

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解题步骤 2.3.7.2.1

将 $\frac{5}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f + C_{1} = \frac{10}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f + C_{1} = \frac{10}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.4

约去 $10$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.4.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f + C_{1} = \frac{2 (5)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.2.4.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.4.2.2

约去公因数。

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2.4.2.3

重写表达式。

$f + C_{1} = \frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $9 x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f + C_{1} = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $9$ 代入 $f$ ，在 $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$9 = \frac{5}{3} {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$ 。

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{5}{3} \cdot {(9 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

解题步骤 4.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\frac{5}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 9$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{5}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 9$

解题步骤 4.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 9$

解题步骤 4.2.5.2

重写表达式。

$\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + K = 9$

解题步骤 4.2.6

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5}{3} \cdot 8 + K = 9$

解题步骤 4.2.7

乘以 $\frac{5}{3} \cdot 8$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{5 \cdot 8}{3} + K = 9$

解题步骤 4.2.7.2

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{40}{3} + K = 9$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{40}{3}$ 。

$K = 9 - \frac{40}{3}$

解题步骤 4.3.2

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$K = 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

解题步骤 4.3.3

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$K = \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{9 \cdot 3 - 40}{3}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$K = \frac{27 - 40}{3}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $27$ 中减去 $40$ 。

$K = \frac{- 13}{3}$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$K = - \frac{13}{3}$

解题步骤 5

代入 $- \frac{13}{3}$ 替换 $f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $- \frac{13}{3}$ 替换 $K$ 。

$f = \frac{5}{3} {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{13}{3}$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{5}{3}$ 和 ${(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13}{3}$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$f = \frac{5 {(9 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 13}{3}$

微积分学 示例

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