微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = (1 + 4 t) \sqrt{y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} ((1 + 4 t) \sqrt{y})$

解题步骤 1.2

约去 $\sqrt{y}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $(1 + 4 t) \sqrt{y}$ 中分解出因数 $\sqrt{y}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 t))$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 t))$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d t} = 1 + 4 t$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 4 t) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 4 t d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 4 t d t$

解题步骤 2.2.1.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 4 t d t$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 4 t d t$

解题步骤 2.2.1.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 4 t d t$

解题步骤 2.2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 4 t d t$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 4 t d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d t + \int 4 t d t$

解题步骤 2.3.2

应用常数不变法则。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + \int 4 t d t$

解题步骤 2.3.3

由于 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + 4 \int t d t$

解题步骤 2.3.4

根据幂法则， $t$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{1}{2} t^{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

化简。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

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解题步骤 2.3.5.2.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{4}{2} t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.2

约去公因数。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.3

重写表达式。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + \frac{2}{1} t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = t + 2 t^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6

重新排序项。

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 t^{2} + t + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.1

将 $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 t^{2} + t + K$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $y^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 t^{2}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.1.3.1.2

用 $t^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{2}} = t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简指数。

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解题步骤 3.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.3.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

化简。

$y = {(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ 重写为 $(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$ 。

$y = (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$

解题步骤 3.3.2.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2}) (t^{2} + \frac{t}{2} + \frac{K}{2})$ 。

$y = t^{2} t^{2} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3

化简项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = t^{2 + 2} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = t^{4} + t^{2} \frac{t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2

乘以 $t^{2} \frac{t}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.1

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{t}{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{2} t}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2.1

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = t^{4} + \frac{t^{2} t^{1}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = t^{4} + \frac{t^{2 + 1}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + t^{2} \frac{K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.3

组合 $t^{2}$ 和 $\frac{K}{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t}{2} t^{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4

乘以 $\frac{t}{2} t^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.1

组合 $\frac{t}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t \cdot t^{2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2.1

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{1} t^{2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{1 + 2}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5

乘以 $\frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.1

将 $\frac{t}{2}$ 乘以 $\frac{t}{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t \cdot t}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.2

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1} t}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1} t^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.5.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.6

乘以 $\frac{t}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.6.1

将 $\frac{t}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.6.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K}{2} t^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.7

组合 $\frac{K}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{t}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.8.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{t}{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.9

乘以 $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1.9.1

将 $\frac{K}{2}$ 乘以 $\frac{K}{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.9.2

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.9.3

对 $K$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.1.3.1.9.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = t^{4} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2} K}{2} + \frac{t^{3}}{2} + \frac{t^{2}}{4} + \frac{t K}{4} + \frac{K t^{2}}{2} + \frac{K t}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

化简项。

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解题步骤 3.3.2.1.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y = t^{4} + \frac{t^{3} + t^{2} K + t^{3} + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2.2

将 $t^{3}$ 和 $t^{3}$ 相加。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + t^{2} K + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $t^{2} K$ 和 $K t^{2}$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

将 $t^{2}$ 和 $K$ 重新排序。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + K t^{2} + K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

将 $K t^{2}$ 和 $K t^{2}$ 相加。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + t K + K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5

将 $t K$ 和 $K t$ 相加。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1

将 $t$ 和 $K$ 重新排序。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + K t + K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5.2

将 $K t$ 和 $K t$ 相加。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{3} + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.6.1

从 $2 t^{3} + 2 K t^{2}$ 中分解出因数 $2 t^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.6.1.1

从 $2 t^{3}$ 中分解出因数 $2 t^{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t) + 2 K t^{2}}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.1.2

从 $2 K t^{2}$ 中分解出因数 $2 t^{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t) + 2 t^{2} K}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.1.3

从 $2 t^{2} (t) + 2 t^{2} K$ 中分解出因数 $2 t^{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t + K)}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.6.2.1

约去公因数。

$y = t^{4} + \frac{2 t^{2} (t + K)}{2} + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.2.2

用 $t^{2} (t + K)$ 除以 $1$ 。

$y = t^{4} + t^{2} (t + K) + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.3

运用分配律。

$y = t^{4} + t^{2} t + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.4

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.6.4.1

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.6.4.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = t^{4} + t^{2} t^{1} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = t^{4} + t^{2 + 1} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.4.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 K t + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.3.2.1.6.5.1

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 K t = 2 \cdot t \cdot K$

解题步骤 3.3.2.1.6.5.2

重写多项式。

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{t^{2} + 2 \cdot t \cdot K + K^{2}}{4}$

解题步骤 3.3.2.1.6.5.3

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = t$ 和 $b = K$ 。

$y = t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$

解题步骤 3.4

化简 $t^{4} + t^{3} + t^{2} K + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $t^{2}$ 和 $K$ 重新排序。

$y = t^{4} + t^{3} + K t^{2} + \frac{{(t + K)}^{2}}{4}$

解题步骤 3.4.2

将 $t$ 和 $K$ 重新排序。

$y = t^{4} + t^{3} + K t^{2} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4}$

解题步骤 3.4.3

移动 $t^{3}$ 。

$y = t^{4} + K t^{2} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + t^{3}$

解题步骤 3.4.4

移动 $K t^{2}$ 。

$y = t^{4} + \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + K t^{2} + t^{3}$

解题步骤 3.4.5

将 $t^{4}$ 和 $\frac{{(K + t)}^{2}}{4}$ 重新排序。

$y = \frac{{(K + t)}^{2}}{4} + t^{4} + K t^{2} + t^{3}$

微积分学 示例

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