微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x + 3 y)}{2 x}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{(x + 3 y)}{2 x}$ 成为两个分数。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 x} + \frac{3 y}{2 x}$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{3 y}{2 x}$ 。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3 y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

解题步骤 1.2

从 $- \frac{3 y}{2 x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{3}{2 x}) = \frac{x}{2 x}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $- \frac{3}{2 x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{3}{2 x} y = \frac{x}{2 x}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{3}{2 x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{3}{2 x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 2.2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.4

化简。

$e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- \frac{3}{2} \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- \frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (- \frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{3}{2 x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{3 y}{2 x}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{3 y}{2 x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x \cdot x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

移动 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.4.2.2

将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 (x^{\frac{3}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.4.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{3 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.2.4.2.5

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{x}{2 x}$

解题步骤 3.3

合并。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{3}{2}} (2 x)}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1} x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{1 + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{2 + 3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.4.5

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1 x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{x}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.6

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $x^{1}$ 移动到分母。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}} \cdot 2 x^{- 1}}$

解题步骤 3.7

通过指数相加将 $x^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 3.7.1

移动 $x^{- 1}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1} x^{\frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.7.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.7.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.7.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.7.6

化简分子。

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解题步骤 3.7.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{- 2 + 5}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.7.6.2

将 $- 2$ 和 $5$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

解题步骤 3.8

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 y}{2 x^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 7.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.2.1

通过将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.2.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

解题步骤 7.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

解题步骤 7.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 7.3

根据幂法则， $x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

解题步骤 7.4

化简答案。

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解题步骤 7.4.1

将 $\frac{1}{2} (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 7.4.2

化简。

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解题步骤 7.4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 7.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = \frac{1}{2} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

解题步骤 7.4.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 7.4.2.4

约去公因数。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 7.4.2.5

重写表达式。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 8.1.1

在等式两边都加上 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = C$

解题步骤 8.1.2

从等式两边同时减去 $C$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} y + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

解题步骤 8.1.3

组合 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

解题步骤 8.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 8.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} - C = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8.2.2

在等式两边都加上 $C$ 。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 8.3

两边同时乘以 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.1.1

约去 $x^{\frac{3}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.1.1.2

重写表达式。

$y = (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.1

化简 $(- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1

化简项。

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解题步骤 8.4.2.1.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.1.2

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.1.1.2.1

将 $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{3}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.1.2.2

从 $x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.1.2.3

约去公因数。

$y = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2}}) + C x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.1.2.4

重写表达式。

$y = - 1 x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 8.4.2.1.2.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y = - 1 x^{1} + C x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.2.2

化简。

$y = - 1 x + C x^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.4.2.1.2.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = - x + C x^{\frac{3}{2}}$

微积分学 示例

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