微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (x^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $3$ 代入 $x$ ，将 $7$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ 中求 $K$ 的值。

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ 。

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.1

从 $3^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

解题步骤 4.2.1.1.3

重写表达式。

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

解题步骤 4.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$9 - 3 + K = 7$

解题步骤 4.2.2

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$6 + K = 7$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$K = 7 - 6$

解题步骤 4.3.2

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$K = 1$

解题步骤 5

代入 $1$ 替换 $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ 中的 $K$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

代入 $1$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$

微积分学 示例

微积分学示例