微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

解题步骤 1.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y d y = \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y d y = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{3}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (π x) d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u = π x$ 。然后使 $d u = π d x$ ，以便 $\frac{1}{π} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u = π x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $π x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 2.3.2.1.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$π \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$π \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

解题步骤 2.3.3

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{π}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{π}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{π}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $\frac{1}{π}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{π \cdot 2} \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.5.2

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} \int \sin (u) d u$

解题步骤 2.3.6

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u) + C_{2})$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u)) + C_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

组合 $\frac{3}{2 π}$ 和 $\cos (u)$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (u)}{2 π} + C_{2}$

解题步骤 2.3.8

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + C_{2}$

解题步骤 2.3.9

重新排序项。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

组合 $\cos (π x)$ 和 $\frac{3}{2 π}$ 。

$y^{2} = 2 (- \frac{\cos (π x) \cdot 3}{2 π} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $3$ 移到 $\cos (π x)$ 的左侧。

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 3.2.2.1.2.1

运用分配律。

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}) + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.2.2.1

将 $- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}$ 中前置负号移到分子中。

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2.2

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 (π)} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2.3

约去公因数。

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.2.4

重写表达式。

$y^{2} = \frac{- 3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

解题步骤 3.2.2.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

解题步骤 3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

解题步骤 3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

微积分学 示例

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