微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y^{2}$ 。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \sqrt{4 x - 1}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$y^{2} d y = \sqrt{4 x - 1} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y^{2} d y = \int \sqrt{4 x - 1} d x$

解题步骤 2.2

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{4 x - 1} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u = 4 x - 1$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u = 4 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $4 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $4 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 2.3.1.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

解题步骤 2.3.3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 2.3.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ 重写为 $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.3

约去 $2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.6.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.7

使用 $4 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{6} {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

微积分学 示例

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