微积分学示例

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2 y d x$ 。

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ 。

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $e^{- 3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $e^{- 3 x} y$ 中分解出因数 $e^{- 3 x}$ 。

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

解题步骤 3.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

解题步骤 3.4

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $e^{- 3 x} y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

解题步骤 3.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

解题步骤 4.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

解题步骤 4.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

解题步骤 4.3.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

解题步骤 4.3.3.2

将 $e^{- 3 x}$ 的指数取反来将其从分母中消除。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.3.3.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.3.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

解题步骤 4.3.3.3.2

将 $e^{3 x}$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

解题步骤 4.3.4

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.4.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.4.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 4.3.4.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.3.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 4.3.4.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 4.3.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 4.3.5

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

解题步骤 4.3.6

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.7.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

解题步骤 4.3.8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

解题步骤 4.3.9

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

解题步骤 4.3.10

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

解题步骤 5.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

解题步骤 5.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ 。

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

解题步骤 5.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1

组合 $e^{3 x}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $2$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

解题步骤 5.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

将 $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ 重写为 $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

解题步骤 6.2

将 $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

解题步骤 6.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

微积分学 示例

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