微积分学示例

当 $y (3) = 3$ 时， $\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 3}$ 。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

解题步骤 1.2

约去 $y + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = y + 3$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y + 3$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 3$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 3$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2.3

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

解题步骤 3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ 。

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

解题步骤 3.5.2

两边同时乘以 $| x |$ 。

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

解题步骤 3.5.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 $| x |$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

解题步骤 3.5.3.1.2

重写表达式。

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

解题步骤 3.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $e^{C} | x |$ 中的因式重新排序。

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

解题步骤 3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

解题步骤 3.5.4.3

将 $\pm | x | e^{C}$ 中的因式重新排序。

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

解题步骤 3.5.4.4

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \pm C | x | - 3$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = C | x | - 3$

解题步骤 5

使用初始条件，通过将 $3$ 代入 $x$ ，将 $3$ 代入 $y$ ，在 $y = C | x | - 3$ 中求 $C$ 的值。

$3 = C | 3 | - 3$

解题步骤 6

求解 $C$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $C | 3 | - 3 = 3$ 。

$C | 3 | - 3 = 3$

解题步骤 6.2

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$C \cdot 3 - 3 = 3$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 移到 $C$ 的左侧。

$3 C - 3 = 3$

解题步骤 6.3

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$3 C = 3 + 3$

解题步骤 6.3.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$3 C = 6$

解题步骤 6.4

将 $3 C = 6$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.4.1

将 $3 C = 6$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

解题步骤 6.4.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{6}{3}$

解题步骤 6.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.3.1

用 $6$ 除以 $3$ 。

$C = 2$

解题步骤 7

代入 $2$ 替换 $y = C | x | - 3$ 中的 $C$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $2$ 替换 $C$ 。

$y = 2 | x | - 3$

微积分学 示例

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