微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - 4$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - 4) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int \frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - 4 d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} - 4 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} x^{3} d x + \int \frac{2}{3} x^{2} d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{3} d x + \int \frac{2}{3} x^{2} d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int \frac{2}{3} x^{2} d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \frac{2}{3} \int x^{2} d x + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int - 4 d x$

解题步骤 2.3.6

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) - 4 x + C_{4}$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

化简。

$y + C_{1} = \frac{x^{4}}{8} + \frac{2 x^{3}}{9} - 4 x + C_{5}$

解题步骤 2.3.7.2

重新排序项。

$y + C_{1} = \frac{1}{8} x^{4} + \frac{2}{9} x^{3} - 4 x + C_{5}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{8} x^{4} + \frac{2}{9} x^{3} - 4 x + K$

微积分学 示例