微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x y}{\ln^{8} (y)}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

重新组合因数。

$\frac{d y}{d x} = 7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)}$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ 。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{8} (y)}{y} (7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

解题步骤 1.3.2

组合 $7$ 和 $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ 。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

解题步骤 1.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{y}{\ln^{8} (y)}$ 。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{8} (y)}$

解题步骤 1.3.4

合并。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

解题步骤 1.3.5

约去 $\ln^{8} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.1

约去公因数。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

解题步骤 1.3.5.2

重写表达式。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

解题步骤 1.3.6

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.6.1

约去公因数。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

解题步骤 1.3.6.2

用 $7 (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 (x)$

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 x$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = 7 x d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u = \ln (y)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{y} d y$ ，以便 $y d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u = \ln (y)$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $\ln (y)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

解题步骤 2.2.1.1.2

$\ln (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y}$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{8} d u = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $u^{8}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{9} u^{9}$ 。

$\frac{1}{9} u^{9} + C_{1} = \int 7 x d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $\ln (y)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \int 7 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 \int x d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

解题步骤 2.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ 重写为 $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ 。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.3.3.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) = \frac{7}{2} x^{2} + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $9$ 。

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y)) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

化简 $9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y))$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{9}$ 和 $\ln^{9} (y)$ 。

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

解题步骤 3.2.2.1.2

运用分配律。

$\ln^{9} (y) = 9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$

解题步骤 3.2.2.1.3

乘以 $9 \frac{7 x^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

组合 $9$ 和 $\frac{7 x^{2}}{2}$ 。

$\ln^{9} (y) = \frac{9 (7 x^{2})}{2} + 9 K$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $7$ 乘以 $9$ 。

$\ln^{9} (y) = \frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$

解题步骤 3.3.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

解题步骤 3.3.3

使用对数的定义将 $\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}} = y$

解题步骤 3.3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

将方程重写为 $y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ 。

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

解题步骤 3.3.4.2

化简 $e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1

从 $\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1.1

从 $\frac{63 x^{2}}{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

解题步骤 3.3.4.2.1.2

从 $9 K$ 中分解出因数 $9$ 。

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

解题步骤 3.3.4.2.1.3

从 $9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$ 中分解出因数 $9$ 。

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)}}$

解题步骤 3.3.4.2.2

要将 $K$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}}$

解题步骤 3.3.4.2.3

化简项。

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解题步骤 3.3.4.2.3.1

组合 $K$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}}$

解题步骤 3.3.4.2.3.2

在公分母上合并分子。

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + K \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 3.3.4.2.4

将 $2$ 移到 $K$ 的左侧。

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + 2 K}{2}}}$

解题步骤 3.3.4.2.5

组合 $9$ 和 $\frac{7 x^{2} + 2 K}{2}$ 。

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}}$

解题步骤 3.3.4.2.6

将 $\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}$ 。

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

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