微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} y - 4 x y$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

从 $9 x^{2} y - 4 x y$ 中分解出因数 $x y$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $9 x^{2} y$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x y (9 x) - 4 x y$

解题步骤 1.1.2

从 $- 4 x y$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x y (9 x) + x y (- 4)$

解题步骤 1.1.3

从 $x y (9 x) + x y (- 4)$ 中分解出因数 $x y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x y (9 x - 4)$

解题步骤 1.2

两边同时乘以 $\frac{1}{y}$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y (9 x - 4))$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $x y (9 x - 4)$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (9 x - 4)))$

解题步骤 1.3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (9 x - 4)))$

解题步骤 1.3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (9 x - 4)$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (9 x) + x \cdot - 4$

解题步骤 1.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 x \cdot x + x \cdot - 4$

解题步骤 1.3.4

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 x \cdot x - 4 \cdot x$

解题步骤 1.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 (x \cdot x) - 4 \cdot x$

解题步骤 1.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 \cdot x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 x$

解题步骤 1.4

重写该方程。

$\frac{1}{y} d y = (9 x^{2} - 4 x) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y} d y = \int 9 x^{2} - 4 x d x$

解题步骤 2.2

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 9 x^{2} - 4 x d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x$

解题步骤 2.3.4

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x$

解题步骤 2.3.5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

化简。

$\ln (| y |) + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2

化简。

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解题步骤 2.3.6.2.1

组合 $9$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.2.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} - 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{- 4}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.4.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.6.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2.2

约去公因数。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2.3

重写表达式。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} + \frac{- 2}{1} x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.6.2.4.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y |) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{3} - 2 x^{2} + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y |) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3 x^{3} - 2 x^{2} + C} = | y |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y | = e^{3 x^{3} - 2 x^{2} + C}$ 。

$| y | = e^{3 x^{3} - 2 x^{2} + C}$

解题步骤 3.3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y = \pm e^{3 x^{3} - 2 x^{2} + C}$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

将 $e^{3 x^{3} - 2 x^{2} + C}$ 重写为 $e^{3 x^{3} - 2 x^{2}} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{3 x^{3} - 2 x^{2}} e^{C}$

解题步骤 4.2

将 $e^{3 x^{3} - 2 x^{2}}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{3} - 2 x^{2}}$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{3 x^{3} - 2 x^{2}}$

微积分学 示例

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