微积分学示例

$\frac{\arcsin (x)}{y} d x + (1 - e^{y}) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{\arcsin (x)}{y} d x$ 。

$(1 - e^{y}) d y = - \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $y$ 。

$y (1 - e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(y \cdot 1 + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

解题步骤 3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$(y + y (- e^{y})) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

解题步骤 3.3

使用乘法的交换性质重写。

$(y - y e^{y}) d y = y (- \frac{\arcsin (x)}{y}) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$(y - y e^{y}) d y = - y \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

解题步骤 3.5

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$(y - y e^{y}) d y = y \cdot - 1 \frac{\arcsin (x)}{y} d x$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$(y - y e^{y}) d y = - \arcsin (x) d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int y - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

解题步骤 4.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - \int y e^{y} d y = \int - \arcsin (x) d x$

解题步骤 4.2.4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = y$ ， $d v = e^{y}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - \int e^{y} d y) = \int - \arcsin (x) d x$

解题步骤 4.2.5

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - (y e^{y} - (e^{y} + C_{2})) = \int - \arcsin (x) d x$

解题步骤 4.2.6

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = \int - \arcsin (x) d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - \int \arcsin (x) d x$

解题步骤 4.3.2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arcsin (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

解题步骤 4.3.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

解题步骤 4.3.4

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.4.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.4.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 4.3.4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.3.4.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 4.3.4.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 4.3.4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.3.4.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.3.4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 4.3.4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 4.3.4.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 4.3.4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u)$

解题步骤 4.3.5

化简。

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解题步骤 4.3.5.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u)$

解题步骤 4.3.5.2

将 $\frac{1}{\sqrt{u}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u)$

解题步骤 4.3.5.3

将 $2$ 移到 $\sqrt{u}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

解题步骤 4.3.6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

解题步骤 4.3.7

化简。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

解题步骤 4.3.7.2

将 $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

解题步骤 4.3.8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

解题步骤 4.3.9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.3.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

解题步骤 4.3.9.2

通过将 $u^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u)$

解题步骤 4.3.9.3

将 ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.9.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u)$

解题步骤 4.3.9.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u)$

解题步骤 4.3.9.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

解题步骤 4.3.10

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$

解题步骤 4.3.11

将 $- (\arcsin (x) x + \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}))$ 重写为 $- (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

解题步骤 4.3.12

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

解题步骤 4.3.13

化简。

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解题步骤 4.3.13.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - (\arcsin (x) x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

解题步骤 4.3.13.2

将 $- \arcsin (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) + C_{3} = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - (y e^{y} - e^{y}) = - x \arcsin (x) - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$

微积分学 示例

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