微积分学示例

$y (x^{2} - 1) d y + x (y^{2} - 1) d x = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x (y^{2} - 1) d x$ 。

$y (x^{2} - 1) d y = - x (y^{2} - 1) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $y (x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.2

组合 $\frac{1}{y^{2} - 1}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.5

约去 $y^{2} - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

将 $- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.5.2

从 $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ 中分解出因数 $y^{2} - 1$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

解题步骤 3.5.3

从 $x (y^{2} - 1)$ 中分解出因数 $y^{2} - 1$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

解题步骤 3.5.4

约去公因数。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

解题步骤 3.5.5

重写表达式。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 1} x d x$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{- 1}{x^{2} - 1}$ 和 $x$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1} d x$

解题步骤 3.7

化简分母。

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解题步骤 3.7.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

解题步骤 3.7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ 。然后使 $d u_{1} = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $(y + 1) (y - 1)$ 求导。

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y + 1$ 且 $g (y) = y - 1$ 。

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3

求微分。

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解题步骤 4.2.1.1.3.1

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.2.1.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.4.2

将 $y + 1$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 4.2.1.1.3.5

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 4.2.1.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

解题步骤 4.2.1.1.3.7

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

解题步骤 4.2.1.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.2

将 $y - 1$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 + y - 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.3

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$2 y + 1 - 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.2.1.1.3.8.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 y + 0$

解题步骤 4.2.1.1.3.8.4.2

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 y$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.2.6

使用 $(y + 1) (y - 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ 。然后使 $d u_{2} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $(x + 1) (x - 1)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

解题步骤 4.3.2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.2.1.3

求微分。

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解题步骤 4.3.2.1.3.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.2.1.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.2.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.3.2.1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.2.1.3.4.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.3.2.1.3.5

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.2.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.3.2.1.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

解题步骤 4.3.2.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.3.2.1.3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

解题步骤 4.3.2.1.3.8.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$x + 1 + x - 1$

解题步骤 4.3.2.1.3.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x + 1 - 1$

解题步骤 4.3.2.1.3.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 4.3.2.1.3.8.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 4.3.2.1.3.8.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3

化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $\frac{1}{u_{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3.2

将 $2$ 移到 $u_{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 4.3.5

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.6

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.7

使用 $(x + 1) (x - 1)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(y + 1) (y - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.1.3

运用分配律。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1.1

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $y$ 的左侧。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.3

将 $- 1 y$ 重写为 $- y$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.3

将 $y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| y^{2} - 1 |)$ 。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.4.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.4.2

重写表达式。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1.1

运用分配律。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.1.2

运用分配律。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.1.3

运用分配律。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.1.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

解题步骤 5.2.2.1.1.3

组合 $\ln (| x^{2} - 1 |)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

解题步骤 5.2.2.1.2

要将 $C$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 5.2.2.1.3

化简项。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

组合 $C$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

在公分母上合并分子。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.3.3.1

约去公因数。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.3.3.2

重写表达式。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

解题步骤 5.2.2.1.4

将 $2$ 移到 $C$ 的左侧。

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

解题步骤 5.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

解题步骤 5.4

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |) = 2 C$

解题步骤 5.5

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} - 1) |) = 2 C$

解题步骤 5.6

使用 FOIL 方法展开 $(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 5.6.1

运用分配律。

$\ln (| y^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

解题步骤 5.6.2

运用分配律。

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

解题步骤 5.6.3

运用分配律。

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

解题步骤 5.7

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1

将 $- 1$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\ln (| y^{2} x^{2} - 1 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

解题步骤 5.7.2

将 $- 1 y^{2}$ 重写为 $- y^{2}$ 。

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

解题步骤 5.7.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

解题步骤 5.7.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$

解题步骤 5.8

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |)} = e^{2 C}$

解题步骤 5.9

使用对数的定义将 $\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |$

解题步骤 5.10

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.10.1

将方程重写为 $| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$ 。

$| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$

解题步骤 5.10.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 = \pm e^{2 C}$

解题步骤 5.10.3

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.10.3.1

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$y^{2} x^{2} - y^{2} + 1 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

解题步骤 5.10.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y^{2} x^{2} - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

解题步骤 5.10.4

从 $y^{2} x^{2} - y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.10.4.1

从 $y^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} (x^{2}) - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

解题步骤 5.10.4.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1 = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

解题步骤 5.10.4.3

从 $y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$y^{2} (x^{2} - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

解题步骤 5.10.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y^{2} (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

解题步骤 5.10.6

因数。

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解题步骤 5.10.6.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y^{2} ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

解题步骤 5.10.6.2

去掉多余的括号。

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

解题步骤 5.10.7

将 $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ 中的每一项除以 $(x + 1) (x - 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.10.7.1

将 $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ 中的每一项都除以 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.7.2

化简左边。

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解题步骤 5.10.7.2.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.7.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.7.2.2

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.7.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.7.2.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.7.3

化简右边。

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解题步骤 5.10.7.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.8

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.10.9

化简 $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$ 。

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解题步骤 5.10.9.1

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.10.9.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.10.9.3

将 $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.10.9.4

将 $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.10.9.5

合并和化简分母。

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解题步骤 5.10.9.5.1

将 $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.10.9.5.2

对 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.10.9.5.3

对 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

解题步骤 5.10.9.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.10.9.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

解题步骤 5.10.9.5.6

将 ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 5.10.9.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 重写成 ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.10.9.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.10.9.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.10.9.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.10.9.5.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.10.9.5.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

解题步骤 5.10.9.5.6.5

化简。

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.10.9.6

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 6

化简积分常数。

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

微积分学 示例

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