微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $y - 3$ 。

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

解题步骤 1.2

约去 $y - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.3

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.2.4

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

解题步骤 2.3.4

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

解题步骤 2.3.5.2

化简。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

解题步骤 3.2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

解题步骤 3.2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

解题步骤 3.2.3

从等式两边同时减去 $K$ 。

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

解题步骤 3.3

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

解题步骤 3.3.2.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

解题步骤 3.3.3

移动 $- 6 y$ 。

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

解题步骤 3.3.4

移动 $- 2 x$ 。

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

解题步骤 3.3.5

将 $y^{2}$ 和 $- 2 x^{2}$ 重新排序。

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 6$ 和 $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4

化简。

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解题步骤 3.6.1.4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.3

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5

从 $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.6.1.5.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5.2

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5.3

从 $8 K$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5.4

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5.5

从 $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5.6

从 $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5.7

从 $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6

将 $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ 重写为 $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ 。

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解题步骤 3.6.1.6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.6.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ 。

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

解题步骤 4

化简积分常数。

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

解题步骤 5

由于 $y$ 在初始条件 $(0, 4)$ 中为正，所以只考虑用 $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ 来求 $K$ 。将 $0$ 代入 $x$ ，将 $4$ 代入 $y$ 。

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

解题步骤 6

求解 $K$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ 。

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

解题步骤 6.2.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

解题步骤 6.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 6.4

化简方程的两边。

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解题步骤 6.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ 重写成 ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1

化简 ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.2.1.1

将 ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 6.4.2.1.3.1

合并 $9 + 0 + K + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 6.4.2.1.3.1.1

将 $9$ 和 $0$ 相加。

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.3.1.2

将 $9 + K$ 和 $0$ 相加。

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

解题步骤 6.4.2.1.3.2

化简。

$9 + K = 1^{2}$

解题步骤 6.4.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.3.1

一的任意次幂都为一。

$9 + K = 1$

解题步骤 6.5

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.5.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$K = 1 - 9$

解题步骤 6.5.2

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$K = - 8$

解题步骤 7

代入 $- 8$ 替换 $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 7.1

代入 $- 8$ 替换 $K$ 。

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

从 $9$ 中减去 $8$ 。

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

解题步骤 7.2.2

重新排序项。

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$

微积分学 示例

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