微积分学示例

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

重新排序项。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.2

从 $- \frac{2 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $- \frac{2}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- \frac{2}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.5

化简。

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 2})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 2}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{2 y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.3

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

化简表达式。

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解题步骤 7.1.1

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 7.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 7.2

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x) + C$ 。

$\frac{1}{x^{2}} y = \arctan (x) + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简左边。

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解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x^{2}} = \arctan (x) + C$

解题步骤 8.2

两边同时乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\arctan (x) + C) x^{2}$

解题步骤 8.3.1.1.2

重写表达式。

$y = (\arctan (x) + C) x^{2}$

解题步骤 8.3.2

化简右边。

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解题步骤 8.3.2.1

化简 $(\arctan (x) + C) x^{2}$ 。

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解题步骤 8.3.2.1.1

运用分配律。

$y = \arctan (x) x^{2} + C x^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 8.3.2.1.2.1

将 $\arctan (x) x^{2} + C x^{2}$ 中的因式重新排序。

$y = x^{2} \arctan (x) + C x^{2}$

解题步骤 8.3.2.1.2.2

将 $x^{2} \arctan (x)$ 和 $C x^{2}$ 重新排序。

$y = C x^{2} + x^{2} \arctan (x)$

微积分学 示例

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