微积分学示例

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{d y}{d x} = y + 2$

解题步骤 1

分离变量。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求解 $\frac{d y}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{1}{x + 1}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} = y + 2$

解题步骤 1.1.2

两边同时乘以 $x + 1$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} (x + 1) = (y + 2) (x + 1)$

解题步骤 1.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} (x + 1) = (y + 2) (x + 1)$

解题步骤 1.1.3.1.1.2

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (x + 1)$

解题步骤 1.1.3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.2.1

化简 $(y + 2) (x + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(y + 2) (x + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = y (x + 1) + 2 (x + 1)$

解题步骤 1.1.3.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = y x + y \cdot 1 + 2 (x + 1)$

解题步骤 1.1.3.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{d y}{d x} = y x + y \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.2.1.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.2.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.1

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = y x + y + 2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} = y x + y + 2 x + 2$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} = x y + y + 2 x + 2$

解题步骤 1.1.3.2.1.2.2.2

移动 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} = x y + 2 x + y + 2$

解题步骤 1.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{d y}{d x} = (x y + 2 x) + y + 2$

解题步骤 1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{d y}{d x} = x (y + 2) + 1 (y + 2)$

解题步骤 1.2.2

通过因式分解出最大公因数 $y + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (x + 1)$

解题步骤 1.3

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 2}$ 。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) (x + 1))$

解题步骤 1.4

约去 $y + 2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) (x + 1))$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = x + 1$

解题步骤 1.5

重写该方程。

$\frac{1}{y + 2} d y = (x + 1) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

使 $u = y + 2$ 。然后使 $d u = d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

设 $u = y + 2$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 2$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u} d u = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int x d x + \int d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

解题步骤 2.3.3

应用常数不变法则。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

解题步骤 3.2

使用对数的定义将 $\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y + 2 |$

解题步骤 3.3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $| y + 2 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ 。

$| y + 2 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

解题步骤 3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$| y + 2 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

解题步骤 3.3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y + 2 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

解题步骤 3.3.4

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C} - 2$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ 重写为 $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ 。

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C} - 2$

解题步骤 4.2

将 $e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ 和 $e^{C}$ 重新排序。

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 2$

解题步骤 4.3

用加号或减号合并常数。

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 2$

微积分学 示例

微积分学示例