微积分学示例

$(1 + 2 y) d x + (x - 4) d y = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $(1 + 2 y) d x$ 。

$(x - 4) d y = - (1 + 2 y) d x$

解题步骤 2

两边同时乘以 $\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ 。

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

约去 $x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

解题步骤 3.3

约去 $1 + 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

解题步骤 3.3.2

从 $(x - 4) (1 + 2 y)$ 中分解出因数 $1 + 2 y$ 。

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

解题步骤 3.3.3

约去公因数。

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

解题步骤 3.3.4

重写表达式。

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{x - 4} d x$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4

对两边积分。

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解题步骤 4.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.2

对左边积分。

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解题步骤 4.2.1

使 $u_{1} = 1 + 2 y$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.2.1.1

设 $u_{1} = 1 + 2 y$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $1 + 2 y$ 求导。

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

解题步骤 4.2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

根据加法法则， $1 + 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ 。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

解题步骤 4.2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

解题步骤 4.2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 4.2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$0 + 2$

解题步骤 4.2.1.1.4

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2$

解题步骤 4.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{1}{u_{1}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 移到 $u_{1}$ 的左侧。

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.2.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.2.4

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.2.5

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.2.6

使用 $1 + 2 y$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.3

对右边积分。

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解题步骤 4.3.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 4} d x$

解题步骤 4.3.2

使 $u_{2} = x - 4$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.3.2.1

设 $u_{2} = x - 4$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 4.3.2.1.2

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.3.2.1.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.3.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.3.2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 4.3.3

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

解题步骤 4.3.4

化简。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 4.3.5

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| x - 4 |) + C_{2}$

解题步骤 4.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \ln (| x - 4 |) + C$

解题步骤 5

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| 1 + 2 y |)$ 。

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

运用分配律。

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |)) + 2 C$

解题步骤 5.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\ln (| 1 + 2 y |) = - 2 \ln (| x - 4 |) + 2 C$

解题步骤 5.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |) = 2 C$

解题步骤 5.4

化简左边。

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解题步骤 5.4.1

化简 $\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |)$ 。

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解题步骤 5.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (| x - 4 |)$ 。

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({| x - 4 |}^{2}) = 2 C$

解题步骤 5.4.1.1.2

去掉 ${| x - 4 |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({(x - 4)}^{2}) = 2 C$

解题步骤 5.4.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$

解题步骤 5.5

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2})} = e^{2 C}$

解题步骤 5.6

使用对数的定义将 $\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{2 C} = | 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}$

解题步骤 5.7

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.7.1

将方程重写为 $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ 。

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$

解题步骤 5.7.2

将 $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ 中的每一项除以 ${(x - 4)}^{2}$ 并化简。

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解题步骤 5.7.2.1

将 $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ 中的每一项都除以 ${(x - 4)}^{2}$ 。

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.2.2.1

约去 ${(x - 4)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.7.2.2.1.2

用 $| 1 + 2 y |$ 除以 $1$ 。

$| 1 + 2 y | = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.7.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$1 + 2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5.7.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$

解题步骤 5.7.5

将 $2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.7.5.1

将 $2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.7.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.7.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.7.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.7.5.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.7.5.3.2

在公分母上合并分子。

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 6

将常数项组合在一起。

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解题步骤 6.1

化简积分常数。

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

解题步骤 6.2

用加号或减号合并常数。

$y = \frac{C \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

微积分学 示例

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