微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

将单个积分拆分为多个积分。

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

解题步骤 2.3.2

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

解题步骤 2.3.3

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

解题步骤 2.3.4

化简。

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $1$ 代入 $x$ ，将 $2$ 代入 $y$ ，在 $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ 中求 $K$ 的值。

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ 。

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

解题步骤 4.2

化简 $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

解题步骤 4.2.1.2

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

解题步骤 4.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

解题步骤 4.2.1.4

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

解题步骤 4.2.2

要将 $\frac{1}{6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

解题步骤 4.2.3

要将 $\frac{1}{7}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

解题步骤 4.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $42$ 的形式。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

解题步骤 4.2.4.2

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

解题步骤 4.2.4.3

将 $\frac{1}{7}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

解题步骤 4.2.4.4

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

解题步骤 4.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

解题步骤 4.2.6

将 $7$ 和 $6$ 相加。

$\frac{13}{42} + K = 2$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{13}{42}$ 。

$K = 2 - \frac{13}{42}$

解题步骤 4.3.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{42}{42}$ 。

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

解题步骤 4.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{42}{42}$ 。

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

解题步骤 4.3.4

在公分母上合并分子。

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

解题步骤 4.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $2$ 乘以 $42$ 。

$K = \frac{84 - 13}{42}$

解题步骤 4.3.5.2

从 $84$ 中减去 $13$ 。

$K = \frac{71}{42}$

解题步骤 5

代入 $\frac{71}{42}$ 替换 $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $\frac{71}{42}$ 替换 $K$ 。

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $x^{7}$ 。

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$

微积分学 示例

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