微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = - 8 x^{7} e^{- x^{8}}$ , $y (0) = 8$

解题步骤 1

重写该方程。

$d y = - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d y = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$y + C_{1} = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 8$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - 8 \int x^{7} e^{- x^{8}} d x$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{1} = x^{2}$ 。然后使 $d u_{1} = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{1} = x^{2}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - 8 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ 重写为 ${u_{1}}^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2

将 ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ 重写为 ${u_{1}}^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{1}}$ 重写成 ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2.4

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.2.4.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{1}}^{3}$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.3.4

组合 $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ 和 $e^{- {u_{1}}^{4}}$ 。

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 8$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 8}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

解题步骤 2.3.6

使 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.6.1

设 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.3.6.1.1

对 ${u_{1}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

解题步骤 2.3.6.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1}$

解题步骤 2.3.6.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7

化简。

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解题步骤 2.3.7.1

将 ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ 重写为 ${u_{2}}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.7.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u_{2}}$ 重写成 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.7.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.4.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.4.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.7.3

组合 $\frac{u_{2}}{2}$ 和 $e^{- {u_{2}}^{2}}$ 。

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

解题步骤 2.3.8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

解题步骤 2.3.9

化简。

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解题步骤 2.3.9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 4$ 。

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.9.2

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.9.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.9.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.9.2.2.2

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.9.2.2.3

重写表达式。

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.9.2.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$y + C_{1} = - 2 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.10

使 $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ 。然后使 $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.10.1

设 $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.10.1.1

对 $- {u_{2}}^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

解题步骤 2.3.10.1.2

因为 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以 $- {u_{2}}^{2}$ 对 $u_{2}$ 的导数是 $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

解题步骤 2.3.10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 u_{2})$

解题步骤 2.3.10.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 u_{2}$

解题步骤 2.3.10.2

使用 $u_{3}$ 和 $d u_{3}$ 重写该问题。

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

解题步骤 2.3.11

化简。

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解题步骤 2.3.11.1

将负号移到分数的前面。

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

解题步骤 2.3.11.2

组合 $e^{u_{3}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 2.3.12

由于 $- 1$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

解题步骤 2.3.13

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

解题步骤 2.3.14

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

解题步骤 2.3.15

化简。

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解题步骤 2.3.15.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.15.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.15.2.1

约去公因数。

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.15.2.2

重写表达式。

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.15.3

将 $\int e^{u_{3}} d u_{3}$ 乘以 $1$ 。

$y + C_{1} = \int e^{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 2.3.16

$e^{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $e^{u_{3}}$ 。

$y + C_{1} = e^{u_{3}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.17.1

使用 $- {u_{2}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$y + C_{1} = e^{- {u_{2}}^{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.17.2

使用 ${u_{1}}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$y + C_{1} = e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.3.17.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$y + C_{1} = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $x$ ，将 $8$ 代入 $y$ ，在 $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ 中求 $K$ 的值。

$8 = e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$ 。

$e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 ${({(0^{2})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{- {(0^{2})}^{2 \cdot 2}} + K = 8$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$e^{- {(0^{2})}^{4}} + K = 8$

解题步骤 4.2.2

将 ${(0^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{- 0^{2 \cdot 4}} + K = 8$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$e^{- 0^{8}} + K = 8$

解题步骤 4.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{- 0} + K = 8$

解题步骤 4.2.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{0} + K = 8$

解题步骤 4.2.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 + K = 8$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$K = 8 - 1$

解题步骤 4.3.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$K = 7$

解题步骤 5

代入 $7$ 替换 $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $7$ 替换 $K$ 。

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + 7$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

将 ${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = e^{- {(x^{2})}^{2 \cdot 2}} + 7$

解题步骤 5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = e^{- {(x^{2})}^{4}} + 7$

解题步骤 5.2.2

将 ${(x^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = e^{- x^{2 \cdot 4}} + 7$

解题步骤 5.2.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = e^{- x^{8}} + 7$

微积分学 示例

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