微积分学示例

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + x}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y + 1}$ 。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{1 + x}$

解题步骤 1.2

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{1 + x}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x}$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{1 + x} d x$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

使 $u_{1} = y + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d y$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.2.1.1

设 $u_{1} = y + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d y}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

对 $y + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

解题步骤 2.2.1.1.2

根据加法法则， $y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 2.2.1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.2.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2.1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.2

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

解题步骤 2.2.3

使用 $y + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x} d x$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

使 $u_{2} = 1 + x$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.1.1

设 $u_{2} = 1 + x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 2.3.1.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.3.1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 2.3.2

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

解题步骤 2.3.3

使用 $1 + x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $C$ 。

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| 1 + x |) + C$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| 1 + x |) = C$

解题步骤 3.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}) = C$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |})} = e^{C}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}) = C$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| 1 + x |}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} = e^{C}$ 。

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} = e^{C}$

解题步骤 3.5.2

两边同时乘以 $| 1 + x |$ 。

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

解题步骤 3.5.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.1

约去 $| 1 + x |$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去公因数。

$\frac{| y + 1 |}{| 1 + x |} | 1 + x | = e^{C} | 1 + x |$

解题步骤 3.5.3.1.2

重写表达式。

$| y + 1 | = e^{C} | 1 + x |$

解题步骤 3.5.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $e^{C} | 1 + x |$ 中的因式重新排序。

$| y + 1 | = | 1 + x | e^{C}$

解题步骤 3.5.4.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$y + 1 = \pm | 1 + x | e^{C}$

解题步骤 3.5.4.3

将 $\pm | 1 + x | e^{C}$ 中的因式重新排序。

$y + 1 = \pm e^{C} | 1 + x |$

解题步骤 3.5.4.4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = \pm e^{C} | 1 + x | - 1$

解题步骤 4

将常数项组合在一起。

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解题步骤 4.1

化简积分常数。

$y = \pm C | 1 + x | - 1$

解题步骤 4.2

用加号或减号合并常数。

$y = C | 1 + x | - 1$

微积分学 示例

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