微积分学示例

$\frac{x^{5} + 3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1

将微分方程重写为 $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

分解分数 $\frac{x^{5} + 3 y}{x}$ 成为两个分数。

$\frac{x^{5}}{x} + \frac{3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = 0$

解题步骤 1.1.2

从等式两边同时减去 $\frac{x^{5}}{x}$ 。

$\frac{3 y}{x} - \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{x}$

解题步骤 1.1.3

重新排序项。

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = - \frac{x^{5}}{x}$

解题步骤 1.2

从 $\frac{3 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$- \frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = - \frac{x^{5}}{x}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 和 $\frac{3}{x}$ 重新排序。

$- \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - \frac{x^{5}}{x}$

解题步骤 1.4

将 $- \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = - \frac{x^{5}}{x}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{d y}{d x}}{- 1} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

解题步骤 1.5

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

解题步骤 1.6

用 $\frac{d y}{d x}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{- 1} = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

解题步骤 1.7

移动 $\frac{\frac{3}{x} y}{- 1}$ 中分母的负号。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x^{5}}{x}}{- 1}$

解题步骤 1.8

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x}}{- 1}$

解题步骤 1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 1.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}}}{- 1}$

解题步骤 1.8.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1}}{- 1}$

解题步骤 1.8.2.3

约去公因数。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1}}{- 1}$

解题步骤 1.8.2.4

重写表达式。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- \frac{x^{4}}{1}}{- 1}$

解题步骤 1.8.2.5

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{- x^{4}}{- 1}$

解题步骤 1.9

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = \frac{x^{4}}{1}$

解题步骤 1.10

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot (\frac{3}{x} y) = x^{4}$

解题步骤 1.11

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot \frac{3 y}{x} = x^{4}$

解题步骤 1.12

从 $- 1 \cdot \frac{3 y}{x}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cdot \frac{3}{x}) = x^{4}$

解题步骤 1.13

将 $y$ 和 $- 1 \cdot \frac{3}{x}$ 重新排序。

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot \frac{3}{x} y = x^{4}$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 1 \cdot \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 1 \cdot \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 2.2

对 $- 1 \cdot \frac{3}{x}$ 积分。

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解题步骤 2.2.1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

解题步骤 2.2.2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

解题步骤 2.2.4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

解题步骤 2.2.5

化简。

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 3 \ln (x)}$

解题步骤 2.4

使用对数幂法则。

$e^{\ln (x^{- 3})}$

解题步骤 2.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$x^{- 3}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- 1 \cdot \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $\frac{d y}{d x}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- 1 \cdot \frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 3.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} y) = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $y$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4

乘以 $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 y}{x}$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $\frac{3 y}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 3.2.4.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

解题步骤 3.3

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (x^{3} x)$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 y}{x^{4}} = x$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] = x$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} y] d x = \int x d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$\frac{1}{x^{3}} y = \int x d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{x^{3}} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{x^{3}}$ 和 $y$ 。

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{y}{x^{3}} = \frac{x^{2}}{2} + C$

解题步骤 8.3

两边同时乘以 $x^{3}$ 。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

解题步骤 8.4

化简。

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解题步骤 8.4.1

化简左边。

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解题步骤 8.4.1.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{y}{x^{3}} x^{3} = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

解题步骤 8.4.1.1.2

重写表达式。

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$

解题步骤 8.4.2

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.1

化简 $(\frac{x^{2}}{2} + C) x^{3}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.1

运用分配律。

$y = \frac{x^{2}}{2} x^{3} + C x^{3}$

解题步骤 8.4.2.1.2

乘以 $\frac{x^{2}}{2} x^{3}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.2.1

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{2} + C x^{3}$

解题步骤 8.4.2.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1.2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{x^{2 + 3}}{2} + C x^{3}$

解题步骤 8.4.2.1.2.2.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$y = \frac{x^{5}}{2} + C x^{3}$

微积分学 示例

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