微积分学示例

$\frac{d y}{d t} = y^{4}$

解题步骤 1

分离变量。

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解题步骤 1.1

两边同时乘以 $\frac{1}{y^{4}}$ 。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

解题步骤 1.2

约去 $y^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = 1$

解题步骤 1.3

重写该方程。

$\frac{1}{y^{4}} d y = 1 d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int d t$

解题步骤 2.2

对左边积分。

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解题步骤 2.2.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1.1

通过将 $y^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int d t$

解题步骤 2.2.1.2

将 ${(y^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int d t$

解题步骤 2.2.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int y^{- 4} d y = \int d t$

解题步骤 2.2.2

根据幂法则， $y^{- 4}$ 对 $y$ 的积分是 $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ 。

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ 重写为 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.3.2

化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

将 $\frac{1}{y^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.2.3.2.2

将 $3$ 移到 $y^{3}$ 的左侧。

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int d t$

解题步骤 2.3

应用常数不变法则。

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = t + C_{2}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$3 y^{3}, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$3 y^{3}$

解题步骤 3.2

将 $- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ 中的每一项乘以 $3 y^{3}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ 中的每一项乘以 $3 y^{3}$ 。

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $3 y^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- \frac{1}{3 y^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

解题步骤 3.2.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

解题步骤 3.2.2.1.3

重写表达式。

$- 1 = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = 3 t y^{3} + K (3 y^{3})$

解题步骤 3.2.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$- 1 = 3 t y^{3} + 3 K y^{3}$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ 。

$3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

解题步骤 3.3.2

从 $3 t y^{3} + 3 K y^{3}$ 中分解出因数 $3 y^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $3 t y^{3}$ 中分解出因数 $3 y^{3}$ 。

$3 y^{3} (t) + 3 K y^{3} = - 1$

解题步骤 3.3.2.2

从 $3 K y^{3}$ 中分解出因数 $3 y^{3}$ 。

$3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K = - 1$

解题步骤 3.3.2.3

从 $3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K$ 中分解出因数 $3 y^{3}$ 。

$3 y^{3} (t + K) = - 1$

解题步骤 3.3.3

将 $3 y^{3} (t + K) = - 1$ 中的每一项除以 $3 (t + K)$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $3 y^{3} (t + K) = - 1$ 中的每一项都除以 $3 (t + K)$ 。

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去 $t + K$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.3.2.2.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$y^{3} = - \frac{1}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$

解题步骤 3.3.5

化简 $\sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $- \frac{1}{3 (t + K)}$ 重写为 ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}$ 。

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解题步骤 3.3.5.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

解题步骤 3.3.5.1.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

解题步骤 3.3.5.2

从根式下提出各项。

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

解题步骤 3.3.5.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

解题步骤 3.3.5.4

将 $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

解题步骤 3.3.5.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

解题步骤 3.3.5.6

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ 。

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}})$

解题步骤 3.3.5.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.3.5.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ 。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (t + K)} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.7.2

对 $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

解题步骤 3.3.5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.3.5.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}}$

解题步骤 3.3.5.7.5

将 ${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}$ 重写为 $3 (t + K)$ 。

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解题步骤 3.3.5.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ 重写成 ${(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{({(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.7.5.4.1

约去公因数。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.4.2

重写表达式。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{1}}$

解题步骤 3.3.5.7.5.5

化简。

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.5.8

化简分子。

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解题步骤 3.3.5.8.1

将 ${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.5.8.2

对 $3 (t + K)$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$

解题步骤 3.3.5.8.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$

微积分学 示例

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