微积分学示例

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 7$

解题步骤 1

重写该方程。

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

解题步骤 2

对两边积分。

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解题步骤 2.1

在两边建立积分。

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

解题步骤 2.3

对右边积分。

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解题步骤 2.3.1

由于 $8$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $8$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

解题步骤 2.3.2

使 $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ 。然后使 $d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.2.1

设 $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1.1

对 $t + \frac{π}{12}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

解题步骤 2.3.2.1.2

根据加法法则， $t + \frac{π}{12}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

解题步骤 2.3.2.1.4

因为 $\frac{π}{12}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{π}{12}$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 2.3.2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.3

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (u_{1})$ 的形式。

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 2.3.4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $8$ 。

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.5.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2.2

约去公因数。

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2.3

重写表达式。

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.5.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 2.3.6

将单个积分拆分为多个积分。

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 2.3.7

应用常数不变法则。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 2.3.8

由于 $- 1$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 2.3.9

使 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.3.9.1

设 $u_{2} = 2 u_{1}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.3.9.1.1

对 $2 u_{1}$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

解题步骤 2.3.9.1.2

因为 $2$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以 $2 u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

解题步骤 2.3.9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.3.9.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.3.9.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 2.3.10

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 2.3.11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

解题步骤 2.3.12

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

解题步骤 2.3.13

化简。

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

解题步骤 2.3.14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 2.3.14.1

使用 $t + \frac{π}{12}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

解题步骤 2.3.14.2

使用 $2 u_{1}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

解题步骤 2.3.14.3

使用 $t + \frac{π}{12}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15

化简。

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解题步骤 2.3.15.1

运用分配律。

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.15.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.2.2

约去公因数。

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.2.3

重写表达式。

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.3

组合 $\sin (2 t + \frac{π}{6})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.4

运用分配律。

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.5

化简。

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解题步骤 2.3.15.5.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.15.5.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.5.1.2

约去公因数。

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.5.1.3

重写表达式。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.15.5.2.1

将 $- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.5.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.5.2.3

约去公因数。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.5.2.4

重写表达式。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

解题步骤 2.3.15.5.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

解题步骤 2.4

将右边的积分常数分组为 $K$ 。

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

解题步骤 3

使用初始条件，通过将 $0$ 代入 $t$ ，将 $7$ 代入 $s$ ，在 $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ 中求 $K$ 的值。

$7 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

解题步骤 4

求解 $K$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$ 。

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

解题步骤 4.2.1.1.3

将 $0$ 和 $\frac{π}{6}$ 相加。

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 7$

解题步骤 4.2.1.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 7$

解题步骤 4.2.1.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.5.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 7$

解题步骤 4.2.1.1.5.2

约去公因数。

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 7$

解题步骤 4.2.1.1.5.3

重写表达式。

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 7$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $\frac{π}{3}$ 相加。

$\frac{π}{3} - 1 + K = 7$

解题步骤 4.3

将所有不包含 $K$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{3}$ 。

$- 1 + K = 7 - \frac{π}{3}$

解题步骤 4.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$K = 7 - \frac{π}{3} + 1$

解题步骤 4.3.3

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$K = 8 - \frac{π}{3}$

解题步骤 5

代入 $8 - \frac{π}{3}$ 替换 $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ 中的 $K$ 并化简。

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解题步骤 5.1

代入 $8 - \frac{π}{3}$ 替换 $K$ 。

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2

合并 $4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.1

在公分母上合并分子。

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

解题步骤 5.2.2

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

解题步骤 5.3

用 $0$ 除以 $3$ 。

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

解题步骤 5.4

将 $4 t$ 和 $0$ 相加。

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

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